Bilim Matematik Akıl Yürütme ve Teknoloji: Kinetik enerji

Kinetik enerji, bir cismin hareketinden dolayı sahip olduğu enerjidir. Cismin hareketine göre iki çeşit kinetik enerji vardır.

Öteleme kinetik enerjisi

Doğrusal bir yolda giden cismin kinetik enerjisidir.
$E_{kin}={1 \over 2} m v^2$ olarak ifade edilir.

m: kütle (kilogram)
v: hız (m/s)
E: enerji (joule)

Formülün türetilişi

Sabit bir F kuvveti altında, doğrusal bir yolda x kadar yol alan bir cisim düşünelim. x yolunun sonunda cismin sahip olduğu enerji, F kuvvetinin yaptığı işe eşittir. Yani

$E=Fx$

Newton'un ikinci kanununa göre bir cisme etkiyen net kuvvet, ona kütlesiyle ters orantılı ivme kazandırır. Yani

$F=ma$

Kinematik denklemlerine göre

$v^2=2ax$

x'i çekersek

$x={v^2\over 2a}$

İkinci denklemdeki Fyi ve, üçüncü denklemdeki x terimini birinci denkleme koyarsak

$E=ma{v^2 \over 2a}={mv^2\over 2}$

Dönme kinetik enerjisi

Kütle merkezinden geçen bir doğru etrafında dönen cisimlerin sahip olduğu kinetik enerjidir.

$E_{kin}={1 \over 2} I \omega^2$ ile ifade edilir.

$\omega$ : Açısal hız (radyan/sn)
$I$ , eylemsizlik momenti

Formülün türetilişi

$\omega$ açısal hızıyla dönen bir cismi parçalara ayırırsak, tüm parçaların toplam enerjisi bize cismin kinetik enerjisini verir. Yani

$\sum E_{kin}=E_{kin1}+E_{kin2}+E_{kin3}+\cdots$

$\sum E_{kin}={m_1v_1^2\over 2}+{m_2v_2^2\over 2}+{m_3v_3^2\over 2}+\cdots$

Düzgün dairesel hareket yapan cisimlerde aşağıdaki eşitlik vardır:

$v=\omega r$ yerine yazarsak

$\sum E_{kin}={m_1\omega^2 r_1^2\over 2}+{m_2\omega^2 r_2^2\over 2}+{m_3\omega^2 r_3^2\over 2}+\cdots$ paranteze alalım

$\sum E_{kin}={\omega^2\over 2} (m_1r_1^2+m_2r_2^2+m_3r_3^2+\cdots)$

İşte bu ifadenin parantez içindeki kısmına eylemsizlik momenti denir ve $I$ ile gösterilir. Cismin şekline bağlıdır.

$E_{kin}={1 \over 2} I \omega^2$

Yüksek hızlarda kinetik enerji

Newton mekaniği'nin yasaları, sadece ışık hızına kıyasla küçük hızlarda hareket eden parçacıkların hareketlerini tanımlamada geçerlidir. Parçacık hızları c ile karşılaştırılabilir olduğunda, Newton mekaniğindeki denklemler, yerini görelilik teorisinin öngördüğü daha genel denklemlere bırakır. Görelilik teorisine göre, çok büyük $v$ hızıyla hareket eden $m$ kütleli bir parçacığın kinetik enerjisi:

$E_k= \frac{m c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - m c^2$ ile verilir.

Bu ifadeye göre c den daha büyük hızlar yoktur. Çünkü v c ye yaklaşırken E sonsuza gider.

Bilim Matematik Akıl Yürütme ve Teknoloji

7 Kasım 2013 Perşembe

Kinetik enerji

Öteleme kinetik enerjisi

Formülün türetilişi

Dönme kinetik enerjisi

Formülün türetilişi

Yüksek hızlarda kinetik enerji

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder